答劉伯宗問朱子壺說書_黃宗羲

答劉伯宗問朱子壺說書

　　《投壺經》言壺頸修七寸，腹修五寸，口徑二寸半，容斗五升。鄭注腹容斗五升，三分益一，則為二斗，積三百二十四寸（算法，方一寸高十六寸二分為一升，方一寸高一百六十二寸為一斗，故二斗得積三百二十四寸）。以腹修五寸約之所得（五寸約之者，於五寸之中，截其一寸，取三百二十四寸之積五分之，其一分得積六十四寸八分），求其圓周，得二尺七寸有奇。是為腹徑九寸有餘也（以圓求方，須三分加一。六十四寸八分，分為三分，每一分有二十一寸六分，加一分於六十四寸八分之中，共八十六寸四分，是一寸方積之數，以方積開之，九九八十一，則一面有九寸強。四面凡有三十六寸強，又以方求圓，四分去一，是為圓周二尺七寸有奇。圍三則徑一，故腹徑九寸有餘也）。按鄭氏此說皆整數二斗之積也。然以二斗之積，四分去一，則與經文斗五升合矣。

　　故朱子欲去二斗虛加之數，是也。其實斗五升之積，為二百四十三寸，以腹修五寸約之，五取一焉，得四十八寸六分，即圓積也。圓積求徑，三歸四因開方之，是為腹徑八寸四厘有奇。圓積求周，十二因開方之，是為圓周二尺四寸一分四厘有奇。若鄭氏三分益一以為二斗，方積六十四寸八分，既有虛加之數，則當用圓田法，即以六十四寸八分者開方之，徑得八寸四厘奇。三因於徑，周得二尺四寸一四，亦如前法。朱子以積求徑之法，謂廣六十四寸八分，此六十四寸者，自為正方。又取其八分者，割裂而加於正方之外，則四面各得二厘五毫之數，徑為八寸五厘。此則朱子不明算法，而不自知其誤也。

　　夫正方六十四寸，則一面得八寸，試割二分加之，每寸得二厘五毫。四面皆然，則八分者無餘矣，而四角各缺方二厘五毫，將何以補之哉？故開方之術，中間正方，謂之方法。正方之外，割裂而加之者，謂之廉法補之於角者，謂之隅法。有廉則必有隅，朱子所言有廉而無隅，零星補湊，愈審而愈疏矣。是故六十四寸八分開方八寸四厘有奇，而不可以為八寸五厘也。今為圖如左。

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